[科普中国]-戴德金η函数

戴德金η函数是定义在上半平面的全纯函数，这是权1/2的模形式之一例。

简介戴德金η函数是定义在上半平面的全纯函数，这是权1/2的模形式之一例。

对每个属于上半平面的复数τ，置 ，则η函数表为

η函数满足以下函数方程：

此处的根号是方根函数在右半平面的解析延拓

一般而言，对 ，我们有

其中的自守因子 定为

而 为戴德金和

由此函数方程可知η是权1/2的模形式，因此可由η构造更多的模形式，例如魏尔施特拉斯的模判别式即可表为

事实上，由函数方程可知 是权12的模形式，而这类模形式构成复一维向量空间，比较傅里叶展开的常数项，上式立可得证。1

全纯函数全纯函数（holomorphic function）是复分析研究的中心对象；它们是定义在复平面C的开子集上的，在复平面C中取值的，在每点上皆复可微的函数。这是比实可微强得多的条件，暗示著此函数无穷可微并可以用泰勒级数来描述。

解析函数（analytic function）一词经常可以和“全纯函数”互相交换使用，虽然前者有几个其他含义。全纯函数有时称为正则函数。在整个复平面上都全纯的函数称为整函数（entire function）。“在一点a全纯”不仅表示在a可微，而且表示在某个中心为a的复平面的开邻域上可微。双全纯（biholomorphic）表示一个有全纯逆函数的全纯函数。1

模形式在数学上，模形式是一种解析函数，这种函数的只接受来自复数平面内上半平面中的值，并且这种函数在一个在模型群的群运算之下，会变成某种类型的函数方程，并且通过函数计算出的值也会呈现出某个增长趋势。模形式理论属于数论的范畴。模形式也出现在其他领域，例如代数拓扑和弦理论。

模形式理论是更广泛的自守形式理论的特例。自守形式理论的发展大致可分成三期：

19世纪初：探讨与椭圆函数相关的方面。

19世纪末：此时单变数自守形式的概念诞生。此理论由菲利克斯·克莱因等人发展。

1925至1960年：由赫克发端，发现了模形式与数论的联系。1

本词条内容贡献者为:

胡建平 - 副教授 - 西北工业大学