[科普中国]-对偶式

在逻辑代数中的对偶式：如果将逻辑函数表达式F中所有的“·”变成“+”，“+”变成“·”，“0”变成“1”，“1”变成“0”，并保持原函数中的运算顺序不变，则所得到的新的逻辑表达式称为函数F的对偶式，并记作F'。

对偶式简介在逻辑代数中的对偶式：如果将逻辑函数表达式F中所有的“·”变成“+”，“+”变成“·”，“0”变成“1”，“1”变成“0”，并保持原函数中的运算顺序不变，则所得到的新的逻辑表达式称为函数F的对偶式，并记作F'。 1例如，F=AB+B(C+0) F'=(A+B)(B+C·1) ，从例子可以看出，如果F的对偶式是F'，则F'的对偶式就是F。即，F和 F'互为对偶式。

若逻辑函数表达式的对偶式就是原函数表达式本身，即F'=F。则称函数F为自对偶函数。 例如，函数 是一自对偶函数。因为：F'=(A·C+B)·(A+B·C) =(A+B)(C+B)(A+B)(A+C) =A(B+C)(A+C)+B(B+C)(A+C) =(B+C)(A+AC)+(B+B·C)(A+C) =A(B+C)+B(A+C) =F 求某一逻辑表达式的对偶式时，同样要注意保持原函数的运算顺序不变。

若两个逻辑函数表达式F和G相等，则其对偶式F'和G'也相等。这一规则称为对偶规则。根据对偶规则，当已证明某两个逻辑表达式相等时，便可知道它们的对偶式也相等。例如，已知AB+AC+BC=AB+AC。
根据对偶规则可知等式两端表达式的对偶式也相等，即有：(A+B)·(A+C)·(B+C)=(A+B)(A+C)

对偶式定理在命题逻辑中的对偶式：在仅含有联结词与（∧）、或（∨）、非（┐）的命题公式A中，将∨换成∧，∧换成∨，若A中还含有0或1，则还需将其中的0换成1，1换成0，，所得到的新命题公式A*就是A的对偶式。例如，命题公式A=┐(P∧0)的对偶式A*=┐(P∨1)。

定理1：A和A*是互为对偶式，P，P2，...，Pn是出现在A和A*的原子变元，则 ┐A(P,...,Pn) A*┐P,...┐Pn)； A(┐P,...Pn) ┐A*(P,...,Pn)；即公式的否定等值于其变元否定的对偶式。例子：De Morgan定律 ┐(P∧Q)=┐P∨┐Q。

定理2：设A*，B*分别是A和B的对偶式，如果AB，则A*B*。这就是对偶原理。如果证明了一个等值公式，其对偶式的等值同时也立。可以起到事半功倍的效果。

本词条内容贡献者为:

杜强 - 高级工程师 - 中国科学院工程热物理研究所