[科普中国]-等距线

概述

等距线与等距面在CAGD的多个领域中具有应用价值。例如，在数控加工中，刀具的运动轨迹就是加工曲线或曲面的等距线或面，轮船、汽车等的内表面也是外表面的等距面。等距线在公路设计中也有重要的应用。

给定平面参数

它的等距线的方程是

这里为等距距离。图1给出了一个等距线实例。上述等距线的表示中含有根式，这在实际应用中不方便。因此，可以提出如下问题。1

问题参数曲线满足什么条件才能保证它的等距线是有理曲线？

满足上述条件的曲线也称为曲线。实际上，如果，满足

其中和是有理函数，亦即

那么就是有理曲线。

虽然等距线一般不是有理曲线，但它一定是代数曲线。实际上，等距线可以看成由半径为的圆，其中心沿曲线运动，所生成图形的包络线。这样可以从

中消去，所得到的方程就是等距线的隐式方程。为此只需计算上述方程关于的结式即可。如果希望进一步研究等距线的性质（如求自交点），可以通过计算理想的基来分析。

对于一条代数曲线，它的等距线可以通过消去方程

中的，得到，而这时也可以使用基或结式方法。1