积分因子

定义

由于恰当方程可以比较方便的求出通解，于是人们想到能否将一非恰当方程化为恰当方程呢？由此就引入了积分因子的概念。

如果存在连续可微函数 ，使得

为一恰当方程，即存在函数 ，使

则称 为方程 的积分因子。这时 即为方程 的通解，因而也就是方程 的通解。1

存在性

可以证明，只要方程 有解存在，则必有积分因子存在，且不是唯一的。

事实上，设该方程有通解 ，对其微分可得

与原方程 对比可得

从而， 。由此可见， 即为方程的积分因子。

例如， 可以取 中的任何一个函数作为积分因子。1

确定方法

为方程的积分因子的充分必要条件为

或

对于此一阶线性偏微分方程，在一般情况下，要据此求出 的表达式是比较困难的。以下仅对某些特殊情况介绍几种常用的求积分因子的简便方法。

观察法

对于某些比较简单的微分方程，借助常用的全微分公式，可以直接写出方程的积分因子。如上面所说的 可以取 中的任何一个函数作为积分因子。1

积分法

设方程 存在积分因子 ，则方程 变为 ，因为 与 无关，所以方程有解的充要条件是： 仅与 有关。设 ，则

同理方程 有形如 的积分因子的充要条件是：

从而

1

分组法

如果 是方程的一个积分因子，使得 ，则 也是该方程的一个积分因子，其中 是 的任一可微非零函数。

利用上述定理使分组求积分因子的方法一般化。如果方程左端可以分成两组，即

设两组分别有积分因子 使得

则 是第一组的积分因子， 是第二组的积分因子。如果能找到适当的可微函数 ，使得 ，那么 就是所找的积分因子。1