科普中国-对数公式

对数运算是指数运算的逆运算，利用对数，人们可以更为灵活地处理较大的数字。对数表和对数尺的发明进一步减小了人们使用对数处理数据的难度。对数公式是用于描述对数运算性质、对数函数性质的一组公式，在数学上、工程上都有广泛的应用。

对数的运算

定义

设是一个不为1的正实数，为任意给定的正实数，如果实数满足

则实数称为以为底的的对数，记作

其中，称作底数，称作真数1。

基本性质

设 是一个不为1的正实数，那么以其为底的对数有下面这些基本性质：

证明：

设，则由对数的定义知

因而，该性质得证。

特别地，当时，有

证明：

设，则由对数的定义知

由指数函数是双射可知。从而该性质得证。

证明：

设，, 则由对数的定义知,

而，

由指数函数是双射可知，。从而该性质得证。

特殊对数

以10为底数的对数称为“常用对数”，又叫“布里格斯对数”2，简写为。

以自然常数为底数的对数称为“常用对数”，又叫“纳皮尔对数”2，简写为。

在底数不重要的情形下，有时省略不写。例如在算法复杂度的分析中，由于不同底数的对数之间仅相差常数倍数，故对数复杂度直接写为。

对数表与对数尺

为了处理大数的乘除运算，实际应用中可以先对其取对数，将大数的乘除转化为小数的加减（详见下一节2.1“化积为和”部分）。因此，历史上产生了大量的“对数表”，方便人们直接查表得到一些对数的结果，节省运算时间。

自对数表发明以来，至少已经出现过五百多种不同的对数表。例如法国的加莱于1795年编写了从2到1200的20位数的对数表。此后还有沃尔佛兰姆编写了10000以内的48位数对数表、沙尔普编写了61位数对数表、帕尔克赫斯特编写了102位数对数表、亚当斯编写了260位数对数表。（以上均为自然对数）3

此外，还可以在其中加入根据对数原理设计的对数尺，用法简单，甚至不要求使用者学习理解对数的性质3。

公式内容及推导

化积为和

对于，则有4。

证明：

设

则由对数定义式可得

将两式分别相乘、相除可得

则

即

得证。

化幂为积

对于，则有,4。

证明：

设，则由对数的定义，

变形后可得

则

即

换底公式

对于，有。

证明：

设

两边取对数后可得

也即